OpenAI zveřejnila stovky matematických výsledků včetně pokroku u Riemanna

V kostce:

• Model dostal asi 4 000 problémů při průměrné době výpočtu tři hodiny na jedno nalezené řešení
• Zpřísnění mezí Riemannovy hypotézy není jejím důkazem
• Efektivita násobení matic dosáhla hodnoty 2,25

OpenAI zveřejnila na GitHubu rozsáhlou sadu nových matematických výsledků, které vygeneroval jeden interní model po zadání přibližně 4 000 problémů. Průměrná doba výpočtu činila tři hodiny na nalezené řešení a nejvýraznějším výsledkem je výrazné zpřísnění mezí Riemannovy hypotézy, nikoli její důkaz. Podle blogu Don’t Worry About the Vase šlo většinou o práci na základě jediného podnětu a model měl zkusit štěstí i u otevřených problémů.

Model je podle stejného zdroje zřejmě totožný s modelem, který stál za důkazem souvisejícím s rovnicemi Navier-Stokes. Podnět obsahoval i větu, že i když je problém otevřený, má ho model vyřešit a předložit úplné řešení. Autor textu uvádí, že OpenAI se zdaleka nesnažila s maximálním možným úsilím. Server Platformer k tomu doplnil, že řešení vznikají rychleji, než je lidé stačí pochopit, což může vyvolat krizi identity u matematiků.

Hlavním výsledkem je takzvaná kvazi-Riemannova hypotéza. Nejde o úplnou Riemannovu hypotézu, která říká, že funkce zeta nemá nulové body v oblasti Re(s) > 1/2, ale o důkaz existence pásu bez nul. Matematik Alex Kontorovich podle citovaného přehledu uvedl, že kdyby toho dosáhl člověk, znamenalo by to okamžitě Fieldsovu medaili. Dodal, že výsledek vylučuje i takzvané Siegelovy nuly.

Kvazi-Riemannova hypotéza přitom pro mnohé účely postačuje, například pro rychlý výpočet odmocnin modulo prvočíslo bez náhodné volby nebo pro přesnější odhad počtu prvočísel pod danou hranicí. Související práce se podle přehledu dostává k jádru Artinovy hypotézy o primitivních kořenech z roku 1927. Počet zveřejněných prací a výsledků se ve zdrojích liší, Joshua Gans hovoří o 722 matematických pracích, zatímco Scott Aaronson píše o 372 zásadních výsledcích, proto je celkový rozsah zatím nejistý.

Druhým výrazným výsledkem je zvýšení efektivity násobení matic na hodnotu 2,25. Podle přehledu by právě tento výsledek mohl mít největší reálný dopad, protože násobení matic tvoří většinu světového výpočetního výkonu. Autor zároveň upozorňuje, že zatím nebyl nalezen scénář, kde by byl postup v praxi rychlejší, a výsledek tak dosud není prakticky použitelný. Podobně je tomu u násobení celých čísel, kde jde o asymptotické zlepšení, které dosavadní bariéru prolomilo, byť jen mírně, což málokdo předpovídal.

Mezi zveřejněnými výsledky je podle Scotta Aaronsona i důkaz Khotovy hypotézy o unikátních hrách, na jejímž řešení pracovala i teoretička Dana Moshkovitz. Nejde o samotný problém P versus NP, ale výsledek se týká fundamentálních limitů NP-těžkých problémů. Podle přehledu zveřejnění doporučila poradní skupina včetně matematiků Timothyho Gowerse a Edwarda Wittena. Další výsledky se týkají Hilbertova desátého problému o rozhodnutelnosti, Hadwigerovy hypotézy o barvení grafů, která podle autora převrací domnělý fundamentální vztah v grafech, a abstraktních problémů Hodgeova a Birchova významných pro algebraickou geometrii.

Přehled zmiňuje také výsledek o iracionalitě čísla Pi, který je označen za zábavný a srozumitelný i pro laiky. V oblasti kvantové informace a fyziky Isaac Kim upozornil například na důkaz plošného zákona ve dvou dimenzích, Haldaneovu mezeru pro spin jedna, tvrzení, že parita není v QAC^0, a hypotézu Aaronson-Kuperberg s konstantní chybou. Zmíněné možné aplikace zahrnují výzkum fúze, přenosné skenery těla, systémy párování, tkáňové skeny, kvantové senzory a bezpečnostní kontroly samořídicích aut a robotů.

Co to znamená: Pro firmy jde zatím spíše o signál schopností modelů řešit ověřitelné odborné úlohy než o okamžitě nasaditelný nástroj. Matematické výsledky vyžadují nezávislé ověření a klíčové postupy pro násobení zatím podle zdrojů nemají praktické zrychlení. Z pohledu auditu a implementace AI je podstatné sledovat, zda se podobný přístup podaří přenést na ověřitelné úlohy v medicíně, materiálech či energetice, a oddělit jednotlivé testované výsledky od obecných tvrzení o inteligenci modelů.

Zdroje:

• Don’t Worry About the Vase
• Platformer